Las Propiedades Mecánicas:
Las propiedades
mecánicas de los materiales refieren la
capacidad de cada material en estado sólido a resistir acciones de cargas o
fuerzas.
·
Las Estáticas: las
cargas o fuerzas actúan constantemente o creciendo poco a poco.
·
Las Dinámicas: las
cargas o fuerzas actúan momentáneamente, tienen carácter de choque.
·
Las Cíclicas o de
signo variable: las cargas varían por valor, por sentido o por ambos
simultáneamente.
Las propiedades mecánicas principales son:
·
Elasticidad: se
refiere a la propiedad que presentan los materiales de volver a su estado
inicial cuando se aplica una fuerza sobre él. La deformación recibida ante la
acción de una fuerza o carga no es permanente, volviendo el material a su forma
original al retirarse la carga. En
física el término elasticidad designa la propiedad mecánica de ciertos
materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a
la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas
fuerzas exteriores se eliminan.
·
Plasticidad:
Capacidad de un material a deformarse ante la acción de una carga,
permaneciendo la deformación al retirarse la misma. Es decir es una deformación
permanente e irreversible. La plasticidad es la
propiedad mecánica de un material inelástico, natural, artificial, biológico o
de otro tipo, de deformarse permanente e irreversiblemente cuando se encuentra
sometido a tensiones por encima de su rango elástico, es decir, por encima de
su límite elástico. En los metales, la
plasticidad se explica en términos de desplazamientos irreversibles de
dislocaciones. En los materiales
elásticos, en particular en muchos metales dúctiles, un esfuerzo uniaxial de
tracción pequeño lleva aparejado un comportamiento elástico. Eso significa que
pequeños incrementos en la tensión de tracción comporta pequeños incrementos en
la deformación, si la carga se vuelve cero de nuevo el cuerpo recupera
exactamente su forma original, es decir, se tiene una deformación completamente
reversible. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que existe un
límite, llamado límite elástico, tal que si cierta función homogénea de las
tensiones supera dicho límite entonces al desaparecer la carga quedan
deformaciones remanentes y el cuerpo no vuelve exactamente a su forma. Es decir,
aparecen deformaciones no-reversibles.
Este tipo de comportamiento elasto-plástico
descrito más arriba es el que se encuentra en la mayoría de metales conocidos,
y también en muchos otros materiales. El comportamiento perfectamente plástico
es algo menos frecuente, e implica la aparición de deformaciones irreversibles
por pequeña que sea la tensión, la arcilla de modelar y la plastilina se
aproximan mucho a un comportamiento perfectamente plástico. Otros materiales
además presentan plasticidad con endurecimiento y necesitan esfuerzos progresivamente
más grandes para aumentar su deformación plástica total. E incluso los
comportamientos anteriores puden ir acompañados de efectos viscosos, que hacen
que las tensiones sean mayores en casos de velocidades de deformación altas,
dicho comportamiento se conoce con el nombre de visco-plasticidad. La
plasticidad de los materiales está relacionada con cambios irreversibles en
esos materiales. A diferencia del comportamiento elástico que es
termodinámicamente reversible, un cuerpo que se deforma plásticamente
experimenta cambios de entropía, como desplazamientos de las dislocaciones. En
el comportamiento plástico parte de la energía mecánica se disipa internamente,
en lugar de transformarse en energía potencial elástica.
·
Dureza: es
la resistencia de un cuerpo a ser rayado por otro. Opuesta a duro es blando. El
diamante es duro porque es difícil de rayar. Es la capacidad de oponer
resistencia a la deformación superficial por uno más duro. La dureza es la oposición que ofrecen los
materiales a alteraciones como la penetración, la abrasión, el rayado, la
cortadura, las deformaciones permanentes; entre otras. También puede definirse
como la cantidad de energía que absorbe un material ante un esfuerzo antes de
romperse o deformarse. Por ejemplo: la madera puede rayarse con facilidad, esto
significa que no tiene mucha dureza, mientras que el vidrio es mucho más
difícil de rayar. En metalurgia la
dureza se mide utilizando un durómetro para el ensayo de penetración.
Dependiendo del tipo de punta empleada y del rango de cargas aplicadas, existen
diferentes escalas, adecuadas para distintos rangos de dureza. El interés de la
determinación de la dureza en los aceros estriba en la correlación existente
entre la dureza y la resistencia mecánica, siendo un método de ensayo más
económico y rápido que el ensayo de tracción, por lo que su uso está muy
extendido.Hasta la aparición de la primera máquina Brinell para la
determinación de la dureza, ésta se medía de forma cualitativa empleando una
lima de acero templado que era el material más duro que se empleaba en los
talleres.
Las escalas de Dureza de uso industrial son
las siguientes:
o
Dureza Brinell: Emplea
como punta una bola de acero templado o carburo de W. Para materiales duros, es
poco exacta pero fácil de aplicar. Poco precisa con chapas de menos de 6mm de
espesor. Estima resistencia a tracción.
o
Dureza Knoop: Mide la
dureza en valores de escala absolutas, y se valoran con la profundidad de
señales grabadas sobre un mineral mediante un utensilio con una punta de
diamante al que se le ejerce una fuerza estándar.
o
Dureza Rockwell: Se
utiliza como punta un cono de diamante (en algunos casos bola de acero). Es la
más extendida, ya que la dureza se obtiene por medición directa y es apto para
todo tipo de materiales. Se suele considerar un ensayo no destructivo por el
pequeño tamaño de la huella.
o
Rockwell superficial:
Existe una variante del ensayo, llamada Rockwell superficial, para la
caracterización de piezas muy delgadas, como cuchillas de afeitar o capas de
materiales que han recibido algún tratamiento de endurecimiento superficial.
o
Dureza Rosiwal: Mide
en escalas absoluta de durezas, se expresa como la resistencia a la abrasión
medias en pruebas de laboratorio y tomando como base el corindón con un valor
de 1000.
o
Dureza Shore:Emplea un
escleroscopio. Se deja caer un indentador en la superficie del material y se ve
el rebote. Es adimensional, pero consta de varias escalas. A mayor rebote ->
mayor dureza. Aplicable para control de calidad superficial. Es un método
elástico, no de penetración como los otros.
o
Dureza Vickers: Emplea
como penetrador un diamante con forma de pirámide cuadrangular. Para materiales
blandos, los valores Vickers coinciden con los de la escala Brinell. Mejora del
ensayo Brinell para efectuar ensayos de dureza con chapas de hasta 2mm de
espesor.
o
Dureza Webster: Emplea
máquinas manuales en la medición, siendo apto para piezas de difícil manejo
como perfiles largos extruidos. El valor obtenido se suele convertir a valores
Rockwell.
En mineralogía se utiliza la escala de Mohs, creada
por el Aleman Friedrich Mohs en 1820, que mide la resistencia al rayado de los
materiales:
Dureza
|
Mineral
|
Composición
química
|
1
|
Talco, (se puede rayar
fácilmente con la uña)
|
Mg3Si4O10(OH)2
|
2
|
Yeso, (se puede rayar con
la uña con más dificultad)
|
CaSO4·2H2O
|
3
|
Calcita, (se puede rayar
con una moneda de cobre)
|
CaCO3
|
4
|
Fluorita, (se puede rayar
con un cuchillo)
|
CaF2
|
5
|
Apatita, (se puede rayar
difícilmente con un cuchillo)
|
Ca5(PO4)3(OH-,Cl-,F-)
|
6
|
Feldespato, (se puede
rayar con una cuchilla de acero)
|
KAlSi3O8
|
7
|
Cuarzo, (raya el acero)
|
SiO2
|
8
|
Topacio,
|
Al2SiO4(OH-,F-)2
|
9
|
Corindón, (sólo se raya
mediante diamante)
|
Al2O3
|
10
|
Diamante, (el mineral
natural más duro)
|
C
|
·
Fragilidad: La
fragilidad se relaciona con la cualidad de los objetos y materiales de romperse
con facilidad. Aunque técnicamente la fragilidad se define más propiamente como
la capacidad de un material de fracturarse con escasa deformación. Por el
contrario, los materiales dúctiles o tenaces se rompen tras sufrir acusadas
deformaciones, generalmente de tipo deformaciones plásticas, tras superar el
límite elástico. Los materiales frágiles que no se deforman plásticamente antes
de la fractura suelen dan lugar a "superficies complementarias" que
normalmente encajan perfectamente. Curvas representativas de
Tensión-Deformación de un material frágil (rojo) y un material dúctil y tenaz
(azul).
La rotura frágil tiene la peculiaridad de absorber
relativamente poca energía, a diferencia de la rotura dúctil, ya que la energía
absorbida por unidad de volumen viene dada por:
§
Si un material se
rompe prácticamente sin deformación las componentes del tensor deformación resultan pequeñas y la suma anterior resulta
en una cantidad relativamente pequeña.
§
La fragilidad de un
material además se relaciona con la velocidad de propagación o crecimiento de
grietas a través de su seno. Esto significa un alto riesgo de fractura súbita
de los materiales con estas características una vez sometidos a esfuerzos. Por
el contrario los materiales tenaces son aquellos que son capaces de frenar el
avance de grietas.
Otros términos frecuentemente confundidos con la
fragilidad que deben ser aclarados:
·
Lo opuesto a un
material muy frágil es un material dúctil.
·
Por otra parte la
dureza no es opuesto a la fragilidad, ya que la dureza es la propiedad de
alterar solo la superficie de un material, que es algo totalmente independiente
de si ese material cuando se fractura tiene o no deformaciones grandes o
pequeñas. Como ejemplo podemos citar el diamante que es el material más duro
que existe, pero es extremadamente frágil.
·
La tenacidad puede
estar relacionada con la fragilidad según el módulo de elasticidad, pero en
principio un material puede ser tenaz y poco frágil (como ciertos aceros) y
puede ser frágil y nada tenaz (como el barro cocido).
·
Fatiga: la
fatiga de materiales se refiere a un fenómeno por el cual la rotura de los
materiales bajo cargas dinámicas cíclicas se produce más fácilmente que con
cargas estáticas. Aunque es un fenómeno que, sin definición formal, era
reconocido desde la antigüedad, este comportamiento no fue de interés real
hasta la Revolución Industrial, cuando, a mediados del siglo XIX comenzaron a
producir las fuerzas necesarias para provocar la rotura con cargas dinámicas
son muy inferiores a las necesarias en el caso estático; y a desarrollar
métodos de cálculo para el diseño de piezas confiables. Este no es el caso de
materiales de aparición reciente, para los que es necesaria la fabricación y el
ensayo de prototipos.
Las curvas S-N se obtienen a través de una serie de
ensayos donde una probeta del material se somete a tensiones cíclicas con una
amplitud máxima relativamente grande (aproximadamente 2/3 de la resistencia
estática a tracción). Se cuentan los ciclos hasta rotura. Este procedimiento se
repite en otras probetas a amplitudes máximas decrecientes.
Los resultados se representan en un diagrama de
tensión, S, frente al logaritmo del número N de ciclos hasta la rotura para
cada una de las probetas. Los valores de S se toman normalmente como amplitudes
de la tensión.
Se pueden obtener dos tipos de curvas S-N. A mayor
tensión, menor número de ciclos hasta rotura. En algunas aleaciones férreas y
en aleaciones de titanio, la curva S-N se hace horizontal para valores grandes
de N, es decir, existe una tensión límite, denominada límite de fatiga, por
debajo del cual la rotura por fatiga no ocurrirá.
En la Curva S-N de un Aluminio frágil, la curva decrecería
y tiende a decrecer hasta llegar a
rotura.
Suele decirse, de manera muy superficial, que
muchas de las aleaciones no férreas (aluminio, cobre, magnesio, etc.) no tienen
un límite de fatiga, dado que la curva S-N continúa decreciendo al aumentar N.
Según esto, la rotura por fatiga ocurrirá independientemente de la magnitud de
la tensión máxima aplicada, y por tanto, para estos materiales, la respuesta a
fatiga se especificaría mediante la resistencia a la fatiga que se define como
el nivel de tensión que produce la rotura después de un determinado número de
ciclos. Sin embargo, esto no es exacto: es ingenuo creer que un material se
romperá al cabo de tantos ciclos, no importa que pequeña sea la tensión
presente.
·
Acritud:
El Endurecimiento por deformación (también llamado
endurecimiento en frío o por acritud) es el endurecimiento de un material por
una deformación plástica a nivel macroscópico que tiene el efecto de
incrementar la densidad de dislocaciones del material. A medida que el material
se satura con nuevas dislocaciones, se crea una resistencia a la formación de
nuevas dislocaciones. Esta resistencia a la formación de dislocaciones se
manifiesta a nivel macroscópico como una resistencia a la deformación plástica.
En cristales metálicos, es usual que las dislocaciones formen una deformación
irreversible a escala microscópica, y terminan por producir una
reestructuración a medida que se propagan por la estructura del cristal. A
temperaturas normales las dislocaciones se acumulan en lugar de aniquilarse, y
sirven como defectos puntuales u obstáculos que impiden significativamente su
movimiento. Esto lleva a un incremento en la resistencia del material y a la
consecuente disminución en la ductilidad.
·
Resiliencia: se
llama resiliencia de un material a la energía de deformación (por unidad de
volumen) que puede ser recuperada de un cuerpo deformado cuando cesa el
esfuerzo que causa la deformación. La resiliencia es igual al trabajo externo
realizado para deformar un material hasta su límite elástico:
En términos simples es la capacidad de memoria de
un material para recuperarse de una deformación, producto de un esfuerzo
externo. El ensayo de resiliencia se realiza mediante el Péndulo de Charpy,
también llamado prueba Charpy.
Se diferencia de la tenacidad en que ésta
cuantifica la cantidad de energía almacenada por el material antes de romperse,
mientas que la resiliencia tan sólo da cuenta de la energía almacenada durante
la deformación elástica. La relación entre resiliencia y tenacidad es generalmente
monótona creciente, es decir, cuando un material presenta mayor resiliencia que
otro, generalmente presenta mayor tenacidad. Sin embargo, dicha relación no es
lineal.
La tenacidad corresponde al área bajo la curva de
un ensayo de tracción entre la deformación nula y la deformación
correspondiente al límite de rotura (resistencia última a la tracción).
La resiliencia es la capacidad de almacenar energía
en el periodo elástico, y corresponde al área bajo la curva del ensayo de
tracción entre la deformación nula y el límite de fluencia.
La lectura de las
propiedades mecánicas de los materiales se realiza con la interpretación de la
rotura del material a los diferentes tipos de esfuerzos:
ESFUERZO Y DEFORMACIÓN
El esfuerzo se define aquí como la intensidad de
las fuerzas componentes internas distribuidas que resisten un cambio en la
forma de un cuerpo. El esfuerzo se define en términos de fuerza por unidad de
área. Existen tres clases básicas de esfuerzos: tensivo, compresivo y corte. El
esfuerzo se computa sobre la base de las dimensiones del corte transversal de
una pieza antes de la aplicación de la carga, que usualmente se llaman
dimensiones originales.
La deformación se define como el cambio de forma de
un cuerpo, el cual se debe al esfuerzo, al cambio térmico, al cambio de humedad
o a otras causas. En conjunción con el esfuerzo directo, la deformación se
supone como un cambio lineal y se mide en unidades de longitud. En los ensayos
de torsión se acostumbra medir la deformación cómo un ángulo de torsión (en
ocasiones llamados detrusión) entre dos secciones especificadas.
Cuando la deformación se define como el cambio por
unidad de longitud en una dimensión lineal de un cuerpo, el cual va acompañado
por un cambio de esfuerzo, se denomina deformación unitaria debida a un esfuerzo.
Es una razón o numero no dimensional, y es, por lo tanto, la misma sin importar
las unidades expresadas, su cálculo se puede realizar mediante la
siguiente expresión:
e = e / L (14)
donde,
e : es la
deformación unitaria,
e : es la
deformación
L : es la longitud del elemento
En la figura se muestra la relación entre la
deformación unitaria y la deformación.
Si un cuerpo es sometido a esfuerzo tensivo o
compresivo en una dirección dada, no solo ocurre deformación en esa dirección
(dirección axial) sino también deformaciones unitarias en direcciones
perpendiculares a ella (deformación lateral). Dentro del rango de acción
elástica la compresión entre las deformaciones lateral y axial en condiciones
de carga uniaxial (es decir en un solo eje) es denominada relación de Poisson.
La extensión axial causa contracción lateral, y viceversa.
1. Esfuerzo de Compresión
La
resistencia a la compresión es el máximo esfuerzo de compresión que un material
es capaz de desarrollar. Con un material quebradizo que falla en compresión por
ruptura, la resistencia a la compresión posee un valor definido. En el caso de
los materiales que no fallan en compresión por una fractura desmoronante (materiales
dúctiles, maleables o semiviscosos), el valor obtenido para la resistencia a la
compresión es un valor arbitrario que depende del grado de distorsión
considerado como falla efectiva del material. Se muestran diagramas
característicos de esfuerzo y deformación para materiales dúctiles y no
dúctiles en compresión:
La figura muestra los diagramas esquemáticos de esfuerzo y deformación para materiales dúctiles y no dúctiles, ensayados a compresión hasta la ruptura.
La figura muestra los diagramas esquemáticos de esfuerzo y deformación para materiales dúctiles y no dúctiles, ensayados a compresión hasta la ruptura.
2. Esfuerzo de Flexión
En las vigas la flexión genera momentos
internos; en un diagrama de momentos flectores internos, un momento positivo
significa que en su sección transversal, la fibra inferior al eje neutro (que
coincide con el eje centroidal) está sometido a esfuerzos normales de tensión,
y la fibra superior al eje neutro estará sometido a esfuerzos normales de
compresión. Sin embargo, estos esfuerzos no se distribuyen en forma constante,
como en los esfuerzos normales directos, sino que tienen una distribución
variable, a partir del eje neutro hasta las fibras extremas. Se puede deducir
como es el comportamiento de la sección transversal cuando el momento flector
interno es negativo, y de igual manera, que en el eje neutro, los esfuerzos
normales son nulos, y máximos para cada caso en las fibras extremas.
La Capacidad resistente a flexión en vigas de acero se define según las siguientes:
La resistencia a flexión de perfiles compactos es una función de la longitud no soportada conocida como Lb. Si ésta es menor que el parámetro Lp, se considera que la viga cuenta con un soporte lateral total y por lo tanto su capacidad resistente a flexión es el momento plástico Mp. Cuando la longitud del elemento es mayor a Lp la resistencia en flexión disminuye por efecto de pandeo lateral inelástico o pandeo lateral elástico. Si Lb es mayor que Lp pero menor o igual al parámetro Lr, se trata de un pandeo lateral torsional (PLT) inelástico. Cuando Lb es mayor que Lr la resistencia del perfil se basa en el pandeo lateral torsional elástico. La Figura 1 muestra la relación entre la longitud soportada Lb y el momento resistente Mn (Segui, 2000).
Los parámetros indicados en la figura se obtienen con las siguientes ecuaciones: Las longitudes Lp y Lr vienen dadas por:
3. Esfuerzo de Tracción –
Tensión
Se denomina tracción al esfuerzo interno a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo. Lógicamente, se considera que las tensiones que tiene cualquier sección perpendicular a dichas fuerzas son normales a esa sección, y poseen sentidos opuestos a las fuerzas que intentan alargar el cuerpo. Un cuerpo sometido a un esfuerzo de tracción sufre deformaciones positivas (estiramientos) en ciertas direcciones por efecto de la tracción. Sin embargo el estiramiento en ciertas direcciones generalmente va acompañado de acortamientos en las direcciones transversales; así si en un prisma mecánico la tracción produce un alargamiento sobre el eje "X" que produce a su vez un encogimiento sobre los ejes "Y" y "Z". Este encogimiento es proporcional al coeficiente de Poisson (ν):
Se denomina tracción al esfuerzo interno a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo. Lógicamente, se considera que las tensiones que tiene cualquier sección perpendicular a dichas fuerzas son normales a esa sección, y poseen sentidos opuestos a las fuerzas que intentan alargar el cuerpo. Un cuerpo sometido a un esfuerzo de tracción sufre deformaciones positivas (estiramientos) en ciertas direcciones por efecto de la tracción. Sin embargo el estiramiento en ciertas direcciones generalmente va acompañado de acortamientos en las direcciones transversales; así si en un prisma mecánico la tracción produce un alargamiento sobre el eje "X" que produce a su vez un encogimiento sobre los ejes "Y" y "Z". Este encogimiento es proporcional al coeficiente de Poisson (ν):
Cuando se trata de
cuerpos sólidos, las deformaciones pueden ser permanentes: en este caso, el
cuerpo ha superado su punto de fluencia y se comporta de forma plástica, de
modo que tras cesar el esfuerzo de tracción se mantiene el alargamiento; si las
deformaciones no son permanentes se dice que el cuerpo es elástico, de manera
que, cuando desaparece el esfuerzo de tracción, aquél recupera su longitud
primitiva.
La relación entre
la tracción que actúa sobre un cuerpo y las deformaciones que produce se suele
representar gráficamente mediante un diagrama de ejes cartesianos que ilustra
el proceso y ofrece información sobre el comportamiento del cuerpo de que se
trate.
Ensayo de tracción
Se define el ensayo de tracción como al esfuerzo al
que se somete la probeta de un material a un esfuerzo de tracción hasta que el
material se rompe. Se utiliza para analizar la resistencia que tiene un
material al aplicar una fuerza que va creciendo gradualmente. Un ensayo de
tracción se realiza colocando la pieza de un material cualquiera entre unas
pinzas que aplicarán una fuerza de tracción que irá aumentando gradualmente
hasta su rotura. A medida que aumenta la fuerza se mide la longitud que aumenta
y se puede observar durante el alargamiento una estricción que se produce por
este efecto. El comportamiento del material al ir estirándose por la acción de
la fuerza es recogido por un ordenador y llevado a una tabla directamente.
En la gráfica, se pueden analizar distintos valores
de cómo se comporta el material ante los esfuerzos de tracción (si soporta
grandes esfuerzos o por el contrario se rompe con mucha facilidad). Pero además
se pueden observar distintos comportamientos del material. Dentro de la tabla
se pueden analizar dos zonas: la zona elástica y la zona plástica.
La zona elástica es donde el material (desde el
comienzo de la aplicación de la fuerza hasta un punto determinado) puede
recuperar su forma original si se deja de aplicar la fuerza. Y se subdivide en
zona de proporcionalidad que es donde la proporción entre el aumento del
esfuerzo y el alargamiento es constante; y en zona de no proporcionalidad que
nos indica que el esfuerzo al que es sometido no es proporcional al
alargamiento producido por el material en esta zona.
La zona plástica es distinta a la elástica ya que si se deja de aplicar el esfuerzo de tracción, el material no es capaz de recuperar su forma original. Se distinguen tres partes: zona de fluencia que es donde el material sin necesidad de aplicar ninguna fuerza se deforma, rotura del material se observa que el material comienza a no aguantar determinados esfuerzos y rotura física del material que es cuando se rompe finalmente.
En el vídeo educativo del Politecnico Jaime Isaza Cadavid, se referencia en detalle el Diagrama esfuerzo deformación http://youtu.be/CFJp0weHMG0
La zona plástica es distinta a la elástica ya que si se deja de aplicar el esfuerzo de tracción, el material no es capaz de recuperar su forma original. Se distinguen tres partes: zona de fluencia que es donde el material sin necesidad de aplicar ninguna fuerza se deforma, rotura del material se observa que el material comienza a no aguantar determinados esfuerzos y rotura física del material que es cuando se rompe finalmente.
En el vídeo educativo del Politecnico Jaime Isaza Cadavid, se referencia en detalle el Diagrama esfuerzo deformación http://youtu.be/CFJp0weHMG0
4. Esfuerzo de Torsión
Esfuerzo de Torsión,
que es en teoría cualquier vector colineal con un eje geométrico de un elemento
mecánico, debido a la acción de tal carga se produce una torcedura en el
elemento mecánico, que si sobrepasa cierto valor por supuesto termina rompiendo
la pieza ó elemento.
El ángulo de torsión
de una barra de sección circular es:
Donde
T = momento
torsionante
l = longitud de la
barra
G = módulo de rigidez
J = momento polar de
inercia del área transversal
Las características de
las variables de la ecuación se pueden visualizar en la figura
El montaje del ensayo se adecua a la siguiente:
El montaje del ensayo se adecua a la siguiente:
Referencias
Bibliográficas
Carlos Ferrer-Giménez, Vicente
Amigó- Borrás (2003). Tecnología de Materiales. Ed. Univ. Politéc. Valencia. ISBN 849705363X,
9788497053631.
Krieg, R.D. and Key, S.W., Implementation of a time dependent plasticity
theory into structural computer programs. In: Stricklin, J.A., Saczalski, K.J.
(Eds.), Constitutive Equations in Viscoplasticity: Computational and
Engineering Aspects, AMD-20, ASEM, New York. pp. 125-137.
Franklin E. Fisher (2006). «Chapter 15: Stress analysis». En Myer
Kutz (en inglés). Mechanical
Engineers' Handbook: Materials and mechanical design. vol. I (3ª edición). John
Wiley & Sons, Inc.
http://www.bolivia-industry.com/sia/marcoreg/Ley/reglasubpel.htm
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